Sabtu, 19 Juli 2014

LOGIKA

Logika matematika merupakan materi yang sangat penting dalam memahami teorimatematika serta dalam menarik suatu kesimpulan dari premis-premis yang ada.

Logika Matematika

Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Ingkaran

Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tapi tidak sekaligus keduanya. Contoh: Jakarta adalah ibukota Indonesia. (benar). Kota Jakarta terletak di Pulau Sumatera. (salah)

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, sehingga belum dapat ditentukan kebenarannya. Contoh: $x^2 - 4x + 5 = 0$ merupakan kalimat terbuka karena mengandung variabel $x$

Ingkaran atau negasi merupakan kebalikan/lawan dari suatu pernyataan. Jika diketahui pernyataan P, maka negasinya adalah $\sim P$

Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

Konjungsi merupakan operasi logika matematika dengan tanda hubung “dan”. Simbolnya adalah $\wedge$ .
Jika ada dua pernyataan P dan Q, maka pada tabel kebenaran, hasilnya akan benar jika kedua pernyataannya bernilai benar. Sisanya salah.

Disjungsi merupakan logika matematika dengan tanda hubung “atau”, simbolnya $\vee$ .
Pada tabel kebenaran, hasilnya hanya salah jika kedua pernyataannya salah.

Implikasi disebut juga dengan “pernyataan bersyarat“, simbolnya adalah $\rightarrow$ atau $\Rightarrow$ , yang dibaca dengan “jika”. Misal $P \rightarrow Q$ maka dibaca “jika P maka Q. Pada tabel kebenaran, hasilnya benar jika kedua pernyataannya benar atau kedua pernyataannya salah.

Biimplikasi merupakan implikasi dua arah, dengan simbol $\leftrightarrow$ atau $\Leftrightarrow$ . Misal $P \Leftrightarrow Q$ , maka dibaca “P jika dan hanya jika Q”.

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk merupakan pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan tunggal. Jadi, pernyataan ini terdiri dari beberapa operasi logika matematika.

Contoh: $(P \vee Q) \Leftrightarrow R$

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Jika diketahui operasi logika matematika $P \rightarrow Q$ , maka berlaku:

Konvers: $Q \leftarrow P$

Invers: $\sim P \rightarrow \sim Q$

Kontraposisi: $\sim Q \rightarrow \sim P$

Pernyataan Berkuantor

Kuantor Universal atau kuantor umum, menggunakan kata: semua, seluruhnya, atau setiap. Contoh: Semua manusia akan mati. Simbolnya adalah $\forall$

Kuantor Eksistensial atau kuantor khusus, menggunakan kata: ada, beberapa, sebagian, terdapat. Contoh: Ada burung yang tidak bisa terbang. Simbolnya adalah $\exists$ .

Penarikan Kesimpulan

Dari beberapa pernyataan yang benar (premis) dan saling berhubungan, dapat ditarik suatu kesimpulan dari premis-premis tersebut.

Ada 3 pola utama dalam menarik suatu kesimpulan, yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme.

Perhatikan pola berikut.

PROPOSISI

DEFINISI PROPOSISI

Sebuah proposisi atau statement sebuah kalimat deklaratif yang memiliki tepat satu nilai kalimat kebenaran yaitu “BENAR” (B) atau “SALAH” (S).

TABEL KEBENARAN

Pada pembicaraan ini dan seterusnya kita hanya membicarakan pernyataan-pernyataan

saja. Pernyataan-pernyataan sederhana digandengkan menjadi pernyataan majemuk

(tersusun) dengan menggunakan kata-kata perangkai (penghubung). Kata-kata perangkai itu

adalah :

(1) “atau” dengan simbol “ Ú ”

(2) “dan” dengan simbol “&” atau “ Ù ”

(3) “apabila …. maka….” dengan simbol “ Þ ”

(4) “bila dan hanya bila” dengan simbol “ Û ”

Sedangkan negasi (sangkalan) suatu pernyataan digunakan kata-kata “tidak benar

bahwa” yang diberi simbol “-” di depan pernyataan yang disangkal (diingkar). Di depan

telah dikatakan bahwa pernyataan-pernyataan diberi simbol dengan huruf alfabet kecil: a, b,

c, d, ….. Sedangkan nilai “Benar” atau “Salah” suatu pernyataan disingkat berturut-turut

dengan “B” atau “S”.

A. Negasi (Sangkalan/Ingkaran) ” - “

Negasi suatu pernyataan ialah suatu pernyataan yang bernilai salah apabila pernyataan

semula bernilai benar, dan bernilai benar apabila pernyataan semula bernilai salah.

Definisi ini dapat dinyatakan dalam suatu tabel yang disebut tabel kebenaran untuk

negasi suatu pernyataan sebagai berikut:

Tabel 3.1.Tabel Nilai Kebenaran

Contoh : Jika a: “Ida suka mangga”

maka –a : “Tidak benar bahwa Ida suka mangga”.

B. Konjungsi Dua Pernyataan ”a^b”

Konjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a & b” (dibaca “a dan b”) bernilai B

(benar), hanya apabila kedua pernyataan tunggalnya bernilai B, dan untuk nilai-nilai

kebenarana dan b lainnya, maka “a & b” bernilai S (salah).

Definisi tersebut dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran (tabel 3.2) konjungsi

dua pernyataan a dan b.

Tabel 3.2.Tabel Nilai Kebenaran

Konjungsi Dua Pernyataan a dan b

Contoh :

1) Misalkan “a” menyatakan “Tembok itu berwarna hitam”, maka negasi a yaitu “-a”

menyatakan “Tidak benar bahwa tembok itu berwarna hitam”. Lebih ringkas dikatakan

“Tembok itu tidak berwarna hitam”.

Apabila “b” menyatakan “Tembok itu berwarna putih”, maka b bukan negasi dari a.

Sebab apabila kenyataannya tembok itu berwarna hijau, maka baik a maupun b kedua

pernyataan bernilai salah. Hal ini bertentangan dengan definisi 3.1.

2) Jika p dan q keduanya bilangan real, maka negasi dari “p > q” adalah “tidak benar bahwa

p> q”. Tidak benar bahwa p > q tidak berarti bahwa p < q, sebab jika kenyataannya p =

q, maka baik p > q maupun p < q keduanya bernilai salah. Sehingga negasi dari “p > q”

adalah “p £ q”.

a -a -(-a)

Catatan: Pernyataan dan negasinya mempunyai nilai-nilai kebenaran yang selalu berlainan,

artinya jika suatu pernyataan diketahui bernilai B, maka negasinya bernilai S dan

sebaliknya jika suatu pernyataan diketahui bernilai S, maka negasinya bernilai B.

C. Disjungsi Dua Pernyataan

Disjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a Ú b” (dibaca: “a atau b”) bernilai S hanya

apabila dua pernyataan tunggalnya bernilai S, sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a

danb lainnya, maka “a Ú b” bernilai B.

Definisi ini dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran disjungsi dua pernyataan a

danb (tabel 3.3) sebagai berikut:

Tabel 3.3.Tabel Nilai Kebenaran

Disjungsi Dua Pernyataan a dan b

Contoh:

1) “7 adalah bilangan prima atau 7 lebih besar dari 8” adalah disjungsi yang bernilai benar

(sesuai baris kedua dari tabel 3.3).

2) “5 adalah bilangan prima atau 5 membagi habis 20” adalah suatu dijungsi yang bernilai

benar.

3) “ 6 adalah faktor dari 9 atau 4 + 7 = 10” adalah suatu dijungsi yang bernilai salah.

4) Apabila x bilangan nyata, maka (x – 1)(x – 5) = 0 dipenuhi jika x = 1 Ú x = 5.

Disjungsi dua pernyataan yang didefinisikan sesuai dengan tabel 3.3 disebut disjungsiinklusif. Disjungsi jenis lain disebut disjungsi eksklusif. Disjungsi eksklusif dua pernyataan

adan b disimbolkan sebagai “a Ú b” (dibaca “atau a atau b”) dan didefinisikan sesuai dengan

tabel 3.4. Dalam buku ini, apabila ditentukan suatu disjungsi tanpa keterangan apa-apa, maka

yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.

Tabel 3.4.Tabel Nilai Kebenaran

Disjungsi Eksklusif dari a dan b.

D. Implikasi (Kondisional) Dua Pernyataan

Implikasi dua pernyataan a dan b diberi simbol “a Þ b” (dibaca “apabila a maka b”).

adisebut pendahulu (antecedent) dan b disebut pengikut (consequent).

Implikasi “a Þ b” bernilai S hanya apabila pendahulu a bernilai B dan pengikut b

bernilai S, untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, maka implikasi “a Þ b”

bernilai B.

Definisi tersebut dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran implikasi

aÞ b (tabel 3.5) berikut.

Tabel 3.5.Tabel Nilai Kebenaran

Implikasi a Þ b

Dalam percakapan sehari-hari pernyataan majemuk “apabila … maka …” biasanya

ada suatu hubungan antara pendahulu dan pengikut.

Contoh:

Apabila matahari terbit dari barat, maka Siti lulus ujian.

Kalimat ini sering kita dengar, dan dimaksudkan bahwa mustahil Siti akan lulus dalam

menempuh ujiannya. Meskipun dalam implikasi itu tidak ada hubungan antara pendahulu

(matahari terbit dari barat) dan pengikut (Siti lulus ujian). Implikasi itu bernilai benar, sebab

pendahulunya bernilai salah.

Perhatikan tabel nilai kebenaran implikasi (tabel 3.5), maka kita dapat

menyimpulkan :

(1) Implikasi selalu bernilai benar, apabila pendahulunya bernilai salah, tanpa

memperhatikan nilai kebenaran pengikutnya (sesuai baris ke 3 dan 4 dalam tabel 3.5).

Nilai kebenaran pengikutnya, baik Benar atau Salah, jika pendahulunya bernilai Salah,

maka implikasi tersebut bernilai Benar.

(2) Implikasi selalu bernilai benar, apabila pengikutnya bernilai benar, tanpa

memperhatikan nilai kebenaran dari pendahulunya (sesuai baris ke 1 dan 3). Tanpa

mengetahui nilai kebenaran pendahulu, jika diketahui pengikutnya bernilai Benar, maka

implikasi tersebut bernilai Benar.

Implikasi yang dipelajari dalam Matematika adalah implikasi yang didefinisikan

seperti dalam tabel 3.5. Implikasi semacam ini disebut implikasi material.Sedang implikasi

yang dijumpai dalam percakapan sehari-hari disebut implikasi biasa (ordinary implication).

Apabila diketahui bahwa “a Þ b” bernilai benar, maka:

(1) adisebut syarat cukup bagi b, atau

(2) bdisebut syarat perlu bagi a.

Perhatikan bahwa suatu syarat perlu belum tentu merupakan syarat cukup.

Definisi implikasi lanjut :

Apabila diketahui “a Þb” maka

(1) bÞ a disebut konvers dari a Þb

(2) – a Þ – b disebut invers dari a Þb

(3) – b Þ – a disebut kontraposisi (kontrapositif) dari a Þb .

Definisi 3.5 ini dapat dinyatakan dengan skema sebagai berikut:

Tabel 3.6 adalah tabel nilai kebenaran suatu implikasi beserta konvers, invers, dan

kontraposisinya.

Memperhatikan tabel 3.6 ini, kita dapat menarik beberapa kesimpulan, yaitu:

(1) Implikasi mula-mula ( aÞ b ) dan konversnya tidak selalu mempunyai nilai

kebenaran yang sama.

(2) Implikasi mula-mula dan inversnya tidak selalu mempunyai nilai kebenaran yang

sama.

(3) Implikasi mula-mula selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan

kontraposisinya, dikatakan bahwa “ a Þ b ekuivalen dengan – b Þ – a ” dan

ditulisa Þ b ek – b Þ – a .

Tabel 3.6.Tabel Nilai Kebenaran Implikasi a Þ b

beserta Konvers, Invers dan Kontraposisnya

E. Biimplikasi (Bikondisional)

Biimplikasi a dan b (disimbolkan dengan “a Ûb” ) bernilai benar apabila kedua

pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang sama, dan mempunyai

bernilai salah apabila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang

berbeda.

Tabel 3.7.Tabel Nilai Kebenaran

Biimplikasi dari a dan b.

Teorema: a Û b

ek ( a Þ b ) & ( b Þ a )

Bukti: Untuk membuktikan kebenaran teorema itu diperlihatkan tabel nilai kebenarannya sebagai berikut:

Terlihat bahwa urutan nilai kebenaran pada kolom 3 sama dengan urutan nilai

kebenaran pada kolom 6, berarti:

aÛ b

ek ( a Þ b ) & (b Þ a )

Pada implikasi a Þ b ,a adalah syarat cukup bagi b, dan pada implikasi b Þ a , a

adalah syarat perlu bagi b. Sehingga a Û b berarti a adalah syarat cukup dan perlu bagi b

dan sebaliknya..

Contoh:

Apabila ketiga sisi suatu segitiga sama panjang maka segitiga itu samasisi.

Dimaksudkan bahwa “ketiga sisi suatu segitiga sama panjang bila dan hanya bila segitiga itu

sama sisi”.

Selanjutnya kata perangkai “bila dan hanya bila” disingkat “bhb”. Kita telah

menggunakan singkatan “ek” untuk “ekuivalen”. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen

apabila nilai-nilai kebenarannya sama. Bandingkanlah

aÛ b dengana ek b. Kedua pernyataan ini mempunyai nilai kebenaran sama.

F. Negasi-Negasi dari Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi.

Untuk menentukan negasi-negasi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi

disusun tabel-tabel kebenarannya dalam satu tabel (tabel 3.9)

Tabel 3.9

Misalkan kita akan menentukan negasi dari (a & b), yaitu –(a & b), nilai-nilai kebenarannya terlihat pada kolom ke-8. Nilai-nilai kebenaran pada kolom itu terdiri atas satu S dan diikuti berturut-turut tiga B. Hal ini hanya terjadi pada pernyataan majemuk dengan kata penghubung “ Ú ”, yaitu –a Ú -b.

Jadi –(a & b) ek –aÚ –b

Nilai-nilai kebenaran dari –(a Ú b) berturut terdiri atas tiga S dan satu B (lihat kolom 9). Hal ini hanya terjadi pada pernyataan majemuk dengan kata penghubung “&”, yaitu -a & -b.

Jadi –(a Ú b) ek -a & -b.

Nilai-nilai kebenaran dari –(a Þ b) terdiri atas tiga S dan satu B (lihat kolom 10). Hal ini hanya terjadi pada nilai-nilai kebenaran pernyataan majemuk dengan kata penghubung “&”, yaitu a & -b. Jadi

–(a Þ b) ek a & -b.

Kita telah mengetahui bahwa b a Û

ek ( a Þ b ) & ( b Þ a )

Maka–( a Û b ) ek –(( a Þ b ) & ( b Þ a ))

ek –( a Þ b ) Ú –( b Þ a )

ek (a & -b) Ú (b & -a)

Jadi –( a Û b ) ek (a & -b) Ú (b & -a)

FUNGSI

Fungsi (matematika)

Grafik contoh sebuah fungsi,

\begin{align}&\scriptstyle \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}

Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan bilangan riil di antara -1 dan 1,5

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuahhimpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.”Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmukuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Notasi

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

f : A \rightarrow B

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

x \in A

f : x \rightarrow x^2

atau

f(x) =\, x^2

Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain dan Kodomain

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Sifat-sifat fungsi

Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂

\in A

dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlakuf(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain Bterdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satua dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

RELASI

relasi, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.

Definisi

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dariA×B.

R_{AB} \subseteq A \times B

Relasi A×A

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

Refleksif
Irefleksif
Simetrik
Anti-simetrik
Transitif

Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya.

\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R

atau

\forall_{a \in A}\quad a R a

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R

atau

\forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a)

Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R

atau

\forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a

Sebuah relasi “

x+y

genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)

atau

\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow (a R b \rightarrow \lnot (b R a))

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b

atau

\forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b

Relasi

\leq

bersifat anti-simetrik, karena

5 \leq 6

mengakibatkan

\lnot (6 \leq 5)

. Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku

p \leq q

dan

q \leq p

berarti

p = q

Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka aberhubungan dengan c secara langsung.

(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R

atau

\forall_{a, b, c \in A} {a R b \wedge b R c \rightarrow a R c}

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

Relasi khusus

Relasi Ekivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:

Refleksif
Simetrik, dan
Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

Refleksif
Anti-simetrik, dan
Transitif