PROPOSISI

DEFINISI PROPOSISI

Sebuah proposisi atau statement sebuah kalimat deklaratif  yang memiliki tepat satu nilai  kalimat kebenaran yaitu “BENAR” (B) atau “SALAH” (S).

TABEL KEBENARAN

Pada pembicaraan ini dan seterusnya kita hanya membicarakan pernyataan-pernyataan

saja. Pernyataan-pernyataan sederhana digandengkan menjadi pernyataan majemuk

(tersusun) dengan menggunakan kata-kata perangkai (penghubung). Kata-kata perangkai itu

adalah :

(1) “atau” dengan simbol “ Ú ”

(2) “dan” dengan simbol “&” atau “ Ù ”

(3) “apabila …. maka….” dengan simbol “ Þ ”

(4) “bila dan hanya bila” dengan simbol “ Û ”

Sedangkan negasi (sangkalan) suatu pernyataan digunakan kata-kata “tidak benar

bahwa” yang diberi simbol “-” di depan pernyataan yang disangkal (diingkar). Di depan

telah dikatakan bahwa pernyataan-pernyataan diberi simbol dengan huruf alfabet kecil: a, b,

c, d, ….. Sedangkan nilai “Benar” atau “Salah” suatu pernyataan disingkat berturut-turut

dengan “B” atau “S”.

A. Negasi (Sangkalan/Ingkaran)  ” -  “

Negasi suatu pernyataan ialah suatu pernyataan yang bernilai salah apabila pernyataan

semula bernilai benar, dan bernilai benar apabila pernyataan semula bernilai salah.

Definisi ini dapat dinyatakan dalam suatu tabel yang disebut tabel kebenaran untuk

negasi suatu pernyataan sebagai berikut:

Tabel 3.1.Tabel Nilai Kebenaran

Contoh : Jika a: “Ida suka mangga”

maka –a : “Tidak benar bahwa Ida suka mangga”.

B. Konjungsi Dua Pernyataan  ”a^b”

Konjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a & b” (dibaca “a dan b”) bernilai B

(benar), hanya apabila kedua pernyataan tunggalnya bernilai B, dan untuk nilai-nilai

kebenarana dan b lainnya, maka “a & b” bernilai S (salah).

Definisi tersebut dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran (tabel 3.2) konjungsi

dua pernyataan a dan b.

Tabel 3.2.Tabel Nilai Kebenaran

Konjungsi Dua Pernyataan a dan b

Contoh :

1) Misalkan “a” menyatakan “Tembok itu berwarna hitam”, maka negasi a yaitu “-a”

menyatakan “Tidak benar bahwa tembok itu berwarna hitam”. Lebih ringkas dikatakan

“Tembok itu tidak berwarna hitam”.

Apabila “b” menyatakan “Tembok itu berwarna putih”, maka b bukan negasi dari a.

Sebab apabila kenyataannya tembok itu berwarna hijau, maka baik a maupun b kedua

pernyataan bernilai salah. Hal ini bertentangan dengan definisi 3.1.

2) Jika p dan q keduanya bilangan real, maka negasi dari “p > q” adalah “tidak benar bahwa

p> q”. Tidak benar bahwa p > q tidak berarti bahwa p < q, sebab jika kenyataannya p =

q, maka baik p > q maupun p < q keduanya bernilai salah. Sehingga negasi dari “p > q”

adalah “p £ q”.

a -a -(-a)

Catatan: Pernyataan dan negasinya mempunyai nilai-nilai kebenaran yang selalu berlainan,

artinya jika suatu pernyataan diketahui bernilai B, maka negasinya bernilai S dan

sebaliknya jika suatu pernyataan diketahui bernilai S, maka negasinya bernilai B.

C. Disjungsi Dua Pernyataan

Disjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a Ú b” (dibaca: “a atau b”) bernilai S hanya

apabila dua pernyataan tunggalnya bernilai S, sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a

danb lainnya, maka “a Ú b” bernilai B.

Definisi ini dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran disjungsi dua pernyataan a

danb (tabel 3.3) sebagai berikut:

Tabel 3.3.Tabel Nilai Kebenaran

Disjungsi Dua Pernyataan a dan b

Contoh:

1) “7 adalah bilangan prima atau 7 lebih besar dari 8” adalah disjungsi yang bernilai benar

(sesuai baris kedua dari tabel 3.3).

2) “5 adalah bilangan prima atau 5 membagi habis 20” adalah suatu dijungsi yang bernilai

benar.

3) “ 6 adalah faktor dari 9 atau 4 + 7 = 10” adalah suatu dijungsi yang bernilai salah.

4) Apabila x bilangan nyata, maka (x – 1)(x – 5) = 0 dipenuhi jika x = 1 Ú x = 5.

Disjungsi dua pernyataan yang didefinisikan sesuai dengan tabel 3.3 disebut disjungsiinklusif. Disjungsi jenis lain disebut disjungsi eksklusif. Disjungsi eksklusif dua pernyataan

adan b disimbolkan sebagai “a Ú b” (dibaca “atau a atau b”) dan didefinisikan sesuai dengan

tabel 3.4. Dalam buku ini, apabila ditentukan suatu disjungsi tanpa keterangan apa-apa, maka

yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.

Tabel 3.4.Tabel Nilai Kebenaran

Disjungsi Eksklusif dari a dan b.

D. Implikasi (Kondisional) Dua Pernyataan

Implikasi dua pernyataan a dan b diberi simbol “a Þ b” (dibaca “apabila a maka b”).

adisebut pendahulu (antecedent) dan b disebut pengikut (consequent).

Implikasi “a Þ b” bernilai S hanya apabila pendahulu a bernilai B dan pengikut b

bernilai S, untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, maka implikasi “a Þ b”

bernilai B.

Definisi tersebut dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran implikasi

aÞ b (tabel 3.5) berikut.

Tabel 3.5.Tabel Nilai Kebenaran

Implikasi a Þ b

Dalam percakapan sehari-hari pernyataan majemuk “apabila … maka …” biasanya

ada suatu hubungan antara pendahulu dan pengikut.

Contoh:

Apabila matahari terbit dari barat, maka Siti lulus ujian.

Kalimat ini sering kita dengar, dan dimaksudkan bahwa mustahil Siti akan lulus dalam

menempuh ujiannya. Meskipun dalam implikasi itu tidak ada hubungan antara pendahulu

(matahari terbit dari barat) dan pengikut (Siti lulus ujian). Implikasi itu bernilai benar, sebab

pendahulunya bernilai salah.

Perhatikan tabel nilai kebenaran implikasi (tabel 3.5), maka kita dapat

menyimpulkan :

(1) Implikasi selalu bernilai benar, apabila pendahulunya bernilai salah, tanpa

memperhatikan nilai kebenaran pengikutnya (sesuai baris ke 3 dan 4 dalam tabel 3.5).

Nilai kebenaran pengikutnya, baik Benar atau Salah, jika pendahulunya bernilai Salah,

maka implikasi tersebut bernilai Benar.

(2) Implikasi selalu bernilai benar, apabila pengikutnya bernilai benar, tanpa

memperhatikan nilai kebenaran dari pendahulunya (sesuai baris ke 1 dan 3). Tanpa

mengetahui nilai kebenaran pendahulu, jika diketahui pengikutnya bernilai Benar, maka

implikasi tersebut bernilai Benar.

Implikasi yang dipelajari dalam Matematika adalah implikasi yang didefinisikan

seperti dalam tabel 3.5. Implikasi semacam ini disebut implikasi material.Sedang implikasi

yang dijumpai dalam percakapan sehari-hari disebut implikasi biasa (ordinary implication).

Apabila diketahui bahwa “a Þ b” bernilai benar, maka:

(1) adisebut syarat cukup bagi b, atau

(2) bdisebut syarat perlu bagi a.

Perhatikan bahwa suatu syarat perlu belum tentu merupakan syarat cukup.

Definisi implikasi lanjut  :

Apabila diketahui “a Þb” maka

(1) bÞ a disebut konvers dari a Þb

(2) – a Þ – b disebut invers dari a Þb

(3) – b Þ – a disebut kontraposisi (kontrapositif) dari a Þb .

Definisi 3.5 ini dapat dinyatakan dengan skema sebagai berikut:

Tabel 3.6 adalah tabel nilai kebenaran suatu implikasi beserta konvers, invers, dan

kontraposisinya.

Memperhatikan tabel 3.6 ini, kita dapat menarik beberapa kesimpulan, yaitu:

(1) Implikasi mula-mula ( aÞ b ) dan konversnya tidak selalu mempunyai nilai

kebenaran yang sama.

(2) Implikasi mula-mula dan inversnya tidak selalu mempunyai nilai kebenaran yang

sama.

(3) Implikasi mula-mula selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan

kontraposisinya, dikatakan bahwa “ a Þ b ekuivalen dengan – b Þ – a ” dan

ditulisa Þ b ek – b Þ – a .

Tabel 3.6.Tabel Nilai Kebenaran Implikasi a Þ b

beserta Konvers, Invers dan Kontraposisnya

E. Biimplikasi (Bikondisional)

Biimplikasi a dan b (disimbolkan dengan “a Ûb” ) bernilai benar apabila kedua

pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang sama, dan mempunyai

bernilai salah apabila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang

berbeda.

Tabel 3.7.Tabel Nilai Kebenaran

Biimplikasi dari a dan b.

Teorema: a Û b

ek ( a Þ b ) & ( b Þ a )

Bukti: Untuk membuktikan kebenaran teorema itu diperlihatkan tabel nilai kebenarannya sebagai berikut:

Terlihat bahwa urutan nilai kebenaran pada kolom 3 sama dengan urutan nilai

kebenaran pada kolom 6, berarti:

aÛ b

ek ( a Þ b ) & (b Þ a )

Pada implikasi a Þ b ,a adalah syarat cukup bagi b, dan pada implikasi b Þ a , a

adalah syarat perlu bagi b. Sehingga a Û b berarti a adalah syarat cukup dan perlu bagi b

dan sebaliknya..

Contoh:

Apabila ketiga sisi suatu segitiga sama panjang maka segitiga itu samasisi.

Dimaksudkan bahwa “ketiga sisi suatu segitiga sama panjang bila dan hanya bila segitiga itu

sama sisi”.

Selanjutnya kata perangkai “bila dan hanya bila” disingkat “bhb”. Kita telah

menggunakan singkatan “ek” untuk “ekuivalen”. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen

apabila nilai-nilai kebenarannya sama. Bandingkanlah

aÛ b dengana ek b. Kedua pernyataan ini mempunyai nilai kebenaran sama.

F. Negasi-Negasi dari Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi.

Untuk menentukan negasi-negasi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi

disusun tabel-tabel kebenarannya dalam satu tabel (tabel 3.9)

Tabel 3.9

Misalkan kita akan menentukan negasi dari (a & b), yaitu –(a & b), nilai-nilai kebenarannya terlihat pada kolom ke-8. Nilai-nilai kebenaran pada kolom itu terdiri atas satu S dan diikuti berturut-turut tiga B. Hal ini hanya terjadi pada pernyataan majemuk dengan kata penghubung “ Ú ”, yaitu –a Ú -b.

Jadi –(a & b) ek –aÚ –b

Nilai-nilai kebenaran dari –(a Ú b) berturut terdiri atas tiga S dan satu B (lihat kolom 9). Hal ini hanya terjadi pada pernyataan majemuk dengan kata penghubung “&”, yaitu -a & -b.

Jadi –(a Ú b) ek -a & -b.

Nilai-nilai kebenaran dari –(a Þ b) terdiri atas tiga S dan satu B (lihat kolom 10). Hal ini hanya terjadi pada nilai-nilai kebenaran pernyataan majemuk dengan kata penghubung “&”, yaitu a & -b. Jadi

–(a Þ b) ek a & -b.

Kita telah mengetahui bahwa b a Û

ek ( a Þ b ) & ( b Þ a )

Maka–( a Û b ) ek –(( a Þ b ) & ( b Þ a ))

ek –( a Þ b ) Ú –( b Þ a )

ek (a & -b) Ú (b & -a)

Jadi  –( a Û b ) ek (a & -b) Ú (b & -a)