Sabtu, 19 Juli 2014

RELASI

relasi, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.

Definisi

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dariA×B.
R_{AB} \subseteq A \times B

Relasi A×A

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:
  • Refleksif
  • Irefleksif
  • Simetrik
  • Anti-simetrik
  • Transitif
Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya.
\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R
atau
\forall_{a \in A}\quad a R a
Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R
atau
\forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a)
Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.
\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R
atau
\forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a
Sebuah relasi “x+y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.
\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)
atau
\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow (a R b \rightarrow \lnot (b R a))
Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.
\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b
atau
\forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b
Relasi \leq bersifat anti-simetrik, karena 5 \leq 6 mengakibatkan \lnot (6 \leq 5). Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku p \leq q dan q \leq p berarti p = q.

Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka aberhubungan dengan c secara langsung.
(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R
atau
\forall_{a, b, c \in A} {a R b \wedge b R c \rightarrow a R c}
Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

Relasi khusus

Relasi Ekivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:
  • Refleksif
  • Simetrik, dan
  • Transitif
Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:
  • Refleksif
  • Anti-simetrik, dan
  • Transitif

Diposting oleh di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)